Novedades: Elementos de la teoría de cuerpos

elementos  Se comienza el primer capítulo con una revisión de algunas definiciones y resultados referentes a la estructura algebraica de anillo, que serán utilizados en el desarrollo de este texto. Recordaremos propiedades de algunas clases especiales de anillos, a saber, los dominios de integridad (o anillos enteros) y los cuerpos. Finalizamos este capítulo demostrando algunas propiedades de los cuerpos finitos. Dichos cuerpos se estudian nuevamente en el capítulo 3.

En el segundo capítulo se estudian los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo. El lector podrá darse cuenta que los resultados estudiados en los primeros cursos universitarios, acerca de polinomios con coeficientes reales, se pueden generalizar a polinomios con coeficientes en un cuerpo cualquiera. Se estudia cuándo un polinomio es irreducible sobre un cuerpo. Dichos polinomios tienen mucha importancia en esta teoría, dado que nos permiten crear nuevos cuerpos. En este capítulo también se muestran ejemplos de cuerpos finitos y se entregan técnicas para su construcción.

En el tercer capítulo se estudia la relación de un cuerpo F con otro cuerpo K, cuando F es un subconjunto de K (se dice que K es una extensión de F). El cuerpo K resulta ser un espacio vectorial sobre F y, en consecuencia, se dispone de la teoría del Álgebra Lineal para obtener resultados sobre las extensiones de cuerpos. En este capítulo se demuestra que todo polinomio no nulo con coeficientes en un cuerpo F, admite una raíz en una extensión K de F. Además, se demuestra que dados p un número primo y n un entero positivo, entonces existe un cuerpo finito con p(n) elementos.

En el cuarto capítulo se muestra cómo la teoría algebraica de cuerpos permite la resolución de problemas geométricos clásicos de construcciones con regla y compás, los que no pudieron ser resueltos por los matemáticos de la antigua Grecia.

En el quinto capítulo, se estudia parte de la Teoría de Galois y se demuestra el Teorema Fundamental de dicha teoría. En este capítulo, sólo se consideran cuerpos contenidos en los números complejos. Se estudia el grupo de Galois de un polinomio de grado 3 y la solubilidad por radicales de los polinomio de grados 3 y 4.

Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios que hemos llamado Ejercicios de Reforzamiento, cuya resolución por parte del lector debería contribuir a una mejor comprensión de los temas estudiados.

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